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2019-2020年高考数学总复习6.4数列求和演练提升同步测评文新人教B版


2019-2020 年高考数学总复习 6.4 数列求和演练提升同步测评文新人教 B



1.数列 112,314,518,7116,…,(2n-1)+21n,…的前 n 项和 Sn 的值等于(

)

A.n2+1-21n

B.2n2-n+1-21n

C.n2+1-2n1-1

D.n2-n+1-21n

【解析】 该数列的通项公式为 an=(2n-1)+21n,

则 Sn=[1+3+5+…+(2n-1)]+???12+212+…+21n???

=n2+1-21n.

【答案】 A

2.(xx·黑龙江哈尔滨六中下学期开学考试)在等比数列{an}中,a3=9,前 3 项和为 S3

=3??03x2dx,则公比 q 的值是(

)

A.1

1 B.-2

C.1 或-12

D.-1 或-12

【答案】 C

3.(xx·长沙模拟)已知函数 f(n)=n2cos(nπ ),且 an=f(n)+f(n+1),则 a1+a2+a3

+…+a100 等于( )

A.-100

B.0

C.100

D.10 200

【解析】 若 n 为偶数,则 an=f(n)+f(n+1)=n2-(n+1)2=-(2n+1),所以 an 是首 项为 a2=-5,公差为-4 的等差数列;若 n 为奇数,则 an=f(n)+f(n+1)=-n2+(n+1)2

=2n+1,所以 an 是首项为 a1=3,公差为 4 的等差数列.

所以 a1+a2+a3+…+a100=(a1+a3+…+a99)+(a2+a4+…+a100)=50×3+50×2 49×4

+50×(-5)-50×2 49×4=-100.

【答案】 A 4.(xx·济南模拟)数列{an}中,an+1+(-1)nan=2n-1,则数列{an}的前 12 项和等于 ()

A.76

B.78

C.80

D.82

【解析】 由已知 an+1+(-1)nan=2n-1,得 an+2+(-1)n+1·an+1=2n+1,得 an+2+an

=(-1)n(2n-1)+(2n+1),取 n=1,5,9 及 n=2,6,10,结果相加可得 S12=a1+a2+a3

+a4+…+a11+a12=78.故选 B.

【答案】 B

A.173 23
C.12

B.185 25
D.13

【答案】 C

6.(xx·河北衡水中学二调)已知 Sn 是数列{an}的前 n 项和,a1=1,a2=2,a3=3,数

列{an+an+1+an+2}是公差为 2 的等差数列,则 S25=( )

A.232

B.233

C.234

D.235

【解析】 ∵数列{an+an+1+an+2}是公差为 2 的等差数列, ∴an+3-an=(an+1+an+2+an+3)-(an+an+1+an+2)=2, ∴a1,a4,a7,…是首项为 1,公差为 2 的等差数列,a2,a5,a8,…是首项为 2,公差 为 2 的等差数列,a3,a6,a9,…是首项为 3,公差为 2 的等差数列,∴S25=(a1+a4+a7+… +a25)+(a2+a5+a8+…+a23)+(a3+a6+a9+…+a24)=9×1+9×28×2+8×2+8×27×2+

8×3+8×27×2=233,故选 B.

【答案】 B

7.(xx·郑州一模)整数数列{an}满足 an+2=an+1-an(n∈N*),若此数列的前 800 项的和

是 2 013,前 813 项的和是 2 000,则其前 2 017 项的和为________.

【解析】 由 an+2=an+1-an,得 an+2=an-an-1-an=-an-1,易得该数列是周期为 6 的数

列,且 an+2+an-1=0,S800=a1+a2=2 013,S813=a1+a2+a3=2 000,

∴???a3=a2-a1=-13,∴???a1=1 013,

??a2+a1=2 013,

??a2=1 000,

∴???a3=-13, 依次可得 ??a4=-1 013,

a5=-1

000,a6=13,

由此可知 an+1+an+2+an+3+an+4+an+5+an+6=0,

∴S2 017=a1=1 013.

【答案】 1 013

8.(xx·洛阳统考)已知正项数列{an}的前 n 项和为 Sn,? n∈N*,2Sn=a2n+an,令 bn=

an

1

a a + n+1

n+1

an,设{bn}的前 n 项和为 Tn,则在 T1,T2,T3,…,T100 中有理数的个数为________.

【解析】 ∵2Sn=a2n+an,① ∴2Sn+1=a2n+1+an+1,② ②-①,得 2an+1=a2n+1+an+1-a2n-an,a2n+1-a2n-an+1-an=0.

(an+1+an)(an+1-an-1)=0.

又∵{an}为正项数列,

∴an+1-an-1=0.

即 an+1-an=1. 在 2Sn=a2n+an 中,令 n=1,可得 a1=1.

∴数列{an}是以 1 为首项,1 为公差的等差数列,

∴an=n.

∴bn=n

1 n+1+(n+1)

n



(n+1) n-n n+1

[n n+1+(n+1) n][(n+1) n-n n+1]

(n+1) n-n n+1 1 1



n(n+1)

=-



n n+1

∴Tn=1-

1, n+1

∴T1,T2,T3,…,T100 中有理数的个数为 9. 【答案】 9

9.(xx·玉林、贵港联考)已知数列{an}中,a1=3,a2=5,且{an-1}是等比数列. (1)求数列{an}的通项公式; (2)若 bn=nan,求数列{bn}的前 n 项和 Tn. 【解析】 (1)∵{an-1}是等比数列且 a1-1=2, a2-1=4,aa21- -11=2, ∴an-1=2·2n-1=2n,∴an=2n+1. (2)bn=nan=n·2n+n, 故 Tn=b1+b2+b3+…+bn=(2+2×22+3×23+…+n·2n)+(1+2+3+…+n). 令 T=2+2×22+3×23+…+n·2n. 则 2T=22+2×23+3×24+…+n·2n+1. 两式相减,得-T=2+22+23+…+2n-n·2n+1 =2(11--22n)-n·2n+1, ∴T=2(1-2n)+n·2n+1=2+(n-1)·2n+1. ∵1+2+3+…+n=n(n+ 2 1), ∴Tn=(n-1)·2n+1+n2+2n+4. 10.(xx·浙江台州九峰高考适应性考试)已知数列{an}是公差不为零的等差数列,a1=1, 且 a2,a4,a8 成等比数列. (1)求数列{an}的通项公式; (2)设数列{bn}满足:a1b1+a2b2+a3b3+…+anbn=2n+1,n∈N*,令 cn=2bnn++11,n∈N*,求数 列{cncn+1}的前 n 项和 Sn. 【解析】 (1)设等差数列{an}的公差为 d. ∵a1=1,且 a2,a4,a8 成等比数列, ∴a24=a2·a8,即 (a1+3d)2=(a1+d)(a1+7d), 解得 d=0(舍)或 d=1, ∴数列{an}的通项公式为 an=n. (2)由 a1b1+a2b2+a3b3+…+anbn=2n+1,得 a1b1+a2b2+a3b3+…+an-1bn-1=2n(n≥2), 两式相减得 anbn=2n+1-2n=2n, 即 bn=2nn(n≥2),

则 cn=b2nn+ +11=n+1 1,cn+1=b2nn+ +22=n+1 2,

∴cncn+1=(n+1)1(n+2)=n+1 1-n+1 2,

∴Sn=12-13+13-14+…+n+1 1-n+1 2=12-n+1 2=2(nn+2).

B 组 专项能力提升

(时间:20 分钟)

11.(xx·福建厦门一中周考)已知数列{an}是等比数列,若 a2a5a8=-8,则a11a5+a41a9+

9

a5a9(

)

A.有最大值12

B.有最小值12

5 C.有最大值2

5 D.有最小值2

【解析】 因为数列{an}是等比数列,所以 a2a5a8=(a5)3=-8,即 a5=-2,所以a11a5+a41a9

+a95a9=-12a1+(-42)2+-92a9=1+12???-a11-a99???,

由 a5=a1q4=-2<0 知,a1<0,a9<0,所以-a11-a99≥2

9 a1a9=3,当且仅当

a9=9a1

149

35

时,等号成立,即a1a5+a1a9+a5a9≥1+2=2,故选 D.

【答案】 D

12.已知数列{an}中,a1=8,且 2an+1+an=6,其前 n 项和为 Sn,则满足不等式|Sn-2n

-4|<2 1008的最小正整数 n 是(

)

A.12

B.13

C.15

D.16

【解析】 2an+1+an=6? an+1-2=-12(an-2),

所以{an-2}是首项为 6,公比为-12的等比数列,an-2=6×???-12???n-1, 则 Sn=2n+4-4×???-12???n, ∴Sn-2n-4=-4×???-12???n.

∴|Sn-2n-4|<2

11 008? 2n-2<2

1 008?

2n-2>2

008,又

210=1

024,211=2

048,所以

满足条件的最小正整数 n=13,故选 B.

【答案】 B

13.(xx·昆明统考)在数列{an}中,an>0,a1=12,如果 an+1 是 1 与2an4a-n+a1+2n 1的等比中 项,那么 a1+a222+a332+a442+…+1a010002的值是________.

【解析】 由题意可得,a2n+1=2an4a-n+a1+2n 1? (2an+1+anan+1+1)(2an+1-anan+1-1)=0,又 an>0,∴2an+1-anan+1-1=0,又 2-an≠0,∴an+1=2-1 an? an+1-1=a2n--a1n,又可知 an≠1,

1

1

∴an+1-1=an-1-1,

∴???an-1 1???是以-2 为首项,-1 为公差的等差数列,∴an-1 1=-2-(n-1)=-n-1? an =n+n 1? ann2=n(n1+1)=1n-n+1 1,∴a1+a222+a332+a442+…+1a010002=1-12+12-13+13-14+14-15

+…+1100-1011=110001.

100 【答案】 101

14.(xx·北京)已知{an}是等差数列,{bn}是等比数列,且 b2=3,b3=9,a1=b1,a14 =b4.
(1)求{an}的通项公式; (2)设 cn=an+bn,求数列{cn}的前 n 项和. 【解析】 (1)等比数列{bn}的公比 q=bb32=93=3, 所以 b1=bq2=1,b4=b3q=27.

设等差数列{an}的公差为 d. 因为 a1=b1=1,a14=b4=27, 所以 1+13d=27,即 d=2.

所以 an=2n-1(n=1,2,3,…). (2)由(1)知,an=2n-1,bn=3n-1, 因此 cn=an+bn=2n-1+3n-1. 从而数列{cn}的前 n 项和

Sn=1+3+…+(2n-1)+1+3+…+3n-1

n(1+2n-1) 1-3n



2

+ 1-3

=n2+3n-2 1.

15.(xx·山西太原二模)已知公比 q>0 的等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 a1=1,S3 =7.数列{bn}中,b1=0,b3=1.
(1)若数列{an+bn}是等差数列,求 an,bn; (2)在(1)的条件下,求数列{bn}的前 n 项和 Tn. 【解析】 (1)由题意得 S3=1+q+q2=7, ∴q=-3 或 q=2.

∵q>0,∴q=2,∴an=2n-1. ∴a1+b1=1,a3+b3=5, ∴数列{an+bn}的公差 d=2, ∴an+bn=2n-1. ∴bn=2n-1-an=2n-1-2n-1. (2)由(1)知 bn=2n-1-2n-1, ∴Tn=(1-20)+(3-21)+(5-22)+…+[(2n-1)-2n-1] =[1+3+5+…+(2n-1)]-(20+21+22+…+2n-1)

=n2-2n+1.

2019-2020 年高考数学总复习 7.1 不等关系与不等式演练提升同步测评文

新人教 B 版

1.(xx·安徽庐江六校第四次联考)若 a>b>0,c<d<0,则一定有( )

A.ac>bd

B.ac<bd

ab C.d>c

ab D.d<c

【解析】 ∵c<d<0,∴-c>-d>0.

∵a>b>0,∴-ac>-bd,∴-accd>-cbdd,∴ad<bc.故选 D.

【答案】 D

2.(xx·江西南昌二中上学期模拟)设 a=log0.22,b=log0.23,c=20.2,d=0.22,则这

四个数的大小关系是( )

A.a<b<c<d

B.d<c<a<b

C.b<a<c<d

D.b<a<d<c

【解析】 由指数函数和对数函数的性质得 log0.23<log0.22<0<0.22<1<20.2,所以选 D.

【答案】 D

3.(xx·内蒙古包头九中期中)若 6<a<10,a2≤b≤2a,c=a+b,则 c 的取值范围是

()

A.9≤c≤18

B.15<c<30

C.9≤c≤30

D.9<c<30

【解析】 ∵a2≤b≤2a,∴32a≤a+b≤3a,即32a≤c≤3a.∵6<a<10,∴9<c<30.故选

D.

【答案】 D

4.(xx·西安八校联考)“x1>3 且 x2>3”是“x1+x2>6 且 x1x2>9”的( ) A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

【解析】 x1>3,x2>3? x1+x2>6,x1x2>9;反之不成立,例如 x1=12,x2=20.

【答案】 A

5.(xx·资阳一诊)已知 a,b∈R,下列命题正确的是( )

A.若 a>b,则|a|>|b|

B.若 a>b,则1a<1b

C.若|a|>b,则 a2>b2

D.若 a>|b|,则 a2>b2

【解析】 当 a=1,b=-2 时,A,B,C 均不正确;对于 D,a>|b|≥0,则 a2>b2.

【答案】 D

6.(xx·贵阳监测考试)下列命题中,正确的是( )

A.若 a>b,c>d,则 ac>bd

B.若 ac>bc,则 a>b

ab C.若c2<c2,则

a<b

D.若 a>b,c<d,则 a-c>b-d

【解析】 取 a=2,b=1,c=-1,d=-2,可知 A 错误;当 c<0 时,ac>bc? a<b, ∴B 错误;∵ca2<cb2,∴c≠0,又 c2>0,∴a<b,C 正确;取 a=c=2,b=d=1,可知 D 错

误.

【答案】 C

7.设 a>b>c>0,x= a2+(b+c)2,y= b2+(c+a)2,z= c2+(a+b)2,则

x,y,z 的大小关系是________.(用“>”连接) 【解析】 方法一 y2-x2=2c(a-b)>0,∴y>x.

同理,z>y,∴z>y>x.

方法二 令 a=3,b=2,c=1,则 x= 18,y= 20,

z= 26,故 z>y>x.

【答案】 z>y>x

8.已知 a,b,c,d 均为实数,有下列命题

①若 ab>0,bc-ad>0,则ca-db>0;

②若 ab>0,ca-db>0,则 bc-ad>0;

③若 bc-ad>0,ca-db>0,则 ab>0.

其中正确的命题是________.

【解析】 ∵ab>0,bc-ad>0,

∴ca-db=bca-bad>0,∴①正确;

∵ab>0,又ca-db>0,即bc- abad>0,

∴bc-ad>0,∴②正确;

∵bc-ad>0,又ca-db>0,即bc- abad>0,

∴ab>0,∴③正确.故①②③都正确.

【答案】 ①②③ 9.设 x<y<0,试比较(x2+y2)(x-y)与(x2-y2)(x+y)的大小. 【解析】 (x2+y2)(x-y)-(x2-y2)(x+y) =(x-y)[(x2+y2)-(x+y)2]

=-2xy(x-y).

∵x<y<0,∴xy>0,x-y<0,∴-2xy(x-y)>0, ∴(x2+y2)(x-y)>(x2-y2)(x+y).

10.甲乙两人同时从宿舍到教室,甲一半路程步行,一半路程跑步;乙一半时间步行,

一半时间跑步;如果两人步行、跑步速度均相同,则谁先到教室?

【解析】 设路程为 s,跑步速度为 v1,步行速度为 v2,

t 甲=2sv1+2sv2=s(v21v+1vv2 2),

s=t2乙·v1+t2乙·v2?

t

2s 乙=v1+v2,

∴tt甲乙=(v41+v1vv22)2≥(24vv11vv22)2=1. ∴t 甲≥t 乙,当且仅当 v1=v2 时“=”成立. 由实际情况知 v1>v2,∴t 甲>t 乙.∴乙先到教室.
B 组 专项能力提升

(时间:20 分钟)

11.(xx·合肥质检)已知△ABC 的三边长分别为 a,b,c,且满足 b+c≤3a,则ca的取

值范围为( )

A.(1,+∞)

B.(0,2)

C.(1,3)

D.(0,3)

??a<b+c≤3a, 【解析】 由已知及三角形三边关系得?a+b>c,
??a+c>b,

bc

???∴

1<a+a≤3,
?? b c

1<ba+ca≤3,

? 1+a>a, ?? c b

∴ -1<ca-ba<1,

??1+a>a,

两式相加得,0<2×ca<4,

c ∴a的取值范围为(0,2).

【答案】 B

12.(xx·湘潭一模)设 a,b 是实数,则“a>b>1”是“a+1a>b+1b”的(

)

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分又不必要条件

【解析】 因为 a+1a-???b+1b???=(a-b)a(b ab-1),若 a>b>1,显然 a+1a-???b+1b???= (a-b)a(b ab-1)>0,则充分性成立,当 a=12,b=23时,显然不等式 a+1a>b+1b成立,

但 a>b>1 不成立,所以必要性不成立.

【答案】 A

13.(xx·重庆一中调研)设 a>1>b>-1,则下列不等式中恒成立的是( )

A.a>b2

11 B.a>b

C.1a<1b

D.a2>2b

【解析】 对于 A,∵-1<b<1,∴0≤b2<1,又∵a>1,∴a>b2,故 A 正确;对于 B,

若 a=2,b=12,此时满足 a>1>b>-1,但1a<1b,故 B 错误,对于 C,若 a=2,b=-12,

此时满足 a>1>b>-1,但1a>1b,故 C 错误;对于 D,若 a=98,b=34,此时满足 a>1>b

>-1,但 a2<2b,故 D 错误.

【答案】 A

14.(xx·江门模拟)设 a,b∈R,定义运算“?和⊕”如下:

a?b=?????ab, ,aa≤ >bb, ,a⊕b=?????ba, ,aa≤ >bb, . 若 m?n≥2,p⊕q≤2,则(

)

A.mn≥4 且 p+q≤4

B.m+n≥4 且 pq≤4

C.mn≤4 且 p+q≥4

D.m+n≤4 且 pq≤4

【解析】 结合定义及 m?n≥2 可得?????mm≥≤2n,或?????nm≥>2n,,即 n≥m≥2 或 m>n≥2,所以 mn ≥4;结合定义及 p⊕q≤2 可得?????pp≤ >2q, ,或?????qp≤ ≤2q, ,
即 q<p≤2 或 p≤q≤2,所以 p+q≤4.

【答案】 A

15.某单位组织职工去某地参观学习需包车前往.甲车队说:“如果领队买一张全票,

其余人可享受 7.5 折优惠.”乙车队说:“你们属团体票,按原价的 8 折优惠.”这两个车队

的原价、车型都是一样的,试根据单位去的人数比较两车队的收费哪家更优惠.

【解析】 设该单位职工有 n 人(n∈N*),全票价为 x 元/人,坐甲车需花 y1 元,坐乙车 需花 y2 元,
则 y1=x+34x·(n-1) =14x+34nx, y2=45nx. 所以 y1-y2=14x+34nx-45nx =14x-210nx =14x???1-n5???. 当 n=5 时,y1=y2; 当 n>5 时,y1<y2; 当 n<5 时,y1>y2. 因此当单位去的人数为 5 人时,两车队收费同等优惠; 当单位去的人数多于 5 人时,甲车队收费更优惠; 当单位去的人数少于 5 人时,乙车队收费更优惠.



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