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高一数学二次函数与一元二次方程教案

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高一数学二次函数与一元二次方程教案 高一数学二次函数与一元二次方程教案 二次函数与一元二次方程
高邮市送桥中学 知识目 知识目标:(1)会用判别式的符号解释二次函数图象与 x 轴交点及一元二次方程的根。 (2)理解解函数的零点与方程根的联系及判断函数的零点所在的大致区间。 能力目标: 能力目标:体验并理解函数与方程相互转化的数学思想培和数形结合的数学思想。 情感目标: 情感目标:培养学生积极探索,主动参与,大胆创新,勇于开拓的精神 教学过程: 教学过程: 过程 一、引入
2 等式 ax + bx + c = 0 ( a ≠ 0 ) 是关于 x 的一元二次方程, 关系式 y = ax + bx + c ( a ≠ 0 ) 则
2

是关于自变量 x 的二次函数。今天我们将进一步研究它们之间的关系。 二、新授 观察思考: 观察思考: 1、 几个具体的一元二次方程及其对应的二次函数,如 ①方程 x 2x 3= 0与函数 y = x 2 2 x 3 ;
2

②方程 x 2 x + 1 = 0 与函数 y = x 2 x + 1 ;
2 2 2

③方程 x 2 x + 3 = 0 与函数 y = x 2 2 x + 3 。 研讨探究 问题:一元二次方程的根与二次函数图象和 x 轴交点坐标有什么关系 ? 探究点一:二次函数图象与一元二次方程根的关系。 探究点一:二次函数图象与一元二次方程根的关系。 ⑴以①为例(幻灯片) 结论:一元二次方程 x 2x 3= 0的判别式 >0 一元二次方程 x 2x 3= 0有两个
2 2

不相等的实数根 对应的二次函数 y = x 2 2 x 3 的图象与 x 轴有两个交点为 (3,0)(–1,0) , 。 (2)再研究②③,能得类似的结论吗? ? 结论:一元二次方程 x 2 x + 1 = 0 判别式 =0 一元二次方程 x 2 x + 1 = 0 有两
2 2

等根 对应的二次函数 y = x 2 2 x + 1 的图象与 x 轴有唯一的交点为(1,0) 。 一元二次方程判别式 x 2 x + 3 = 0 ﹤0 一元二次方程 x 2 x + 3 = 0
2 2

方程无实数根 对应的二次函数 y = x 2 2 x + 3 的图象与 x 轴没有交点。 联想发散 2 、 一 元 二 次 方 程 ax + bx + c = 0 ( a > 0 ) 根 的 个 数 及 其 判 别 式 与 二 次 函 数
2

y = ax 2 + bx + c ( a >0)图象与 x 轴的位置之间有什么联系?)

以 a >0 为例,如下表所示:

= b 2 4ac ax 2 + bx + c = 0

△﹥0

△=0

△﹤0

( a > 0)
y = ax 2 + bx + c

x1, 2 =

b ± b 2 4ac 2a

x1 = x2 =

b 2a

方程无实根

( a > 0)

y ox x

y o x

思考:当二次函数 y = ax 2 + bx + c ( a ﹤0)时,是否也有类似的结论呢? 探究点二:函数的零点 探究点二: 一元二次方程 ax + bx + c = 0 ( a ≠ 0 ) 的的实数根就是二次函数 y = ax 2 + bx + c 的值
2

为零时自变量的 x 的值,也就是二次函数 y = ax 2 + bx + c 的图象与 x 轴交点的横坐标,因 此一元二次方程 ax + bx + c = 0 ( a ≠ 0 ) 的的实数根也称为二次函数
2

y = ax 2 + bx + c ( a ≠ 0) 的零点。

一般地,对于函数 y = f ( x ) ,把使 f ( x ) = 0 的实数 叫做函数 y = f ( x ) 的零点。 函数 y=f(x)的零点、方程 f(x)=0 的根、函数 y=f(x)的图象与 x 轴的交点的横坐标之间的关 系: 函数 y = f ( x ) 的零点 方程 f ( x) = 0 实数根 函数 y = f ( x ) 的图象与 x 轴的交点横坐 标。 探究点三:函数的零点的求解与判定 探究点三: 练习:说出几个具体一元二次方程的根并指出其相应的二次函数的零点情况: 练习: : ①方程 x 2x 3= 0与函数 y = x 2 2 x 3 ;
2

②方程 x 2 x + 1 = 0 与函数 y = x 2 2 x + 1 ;
2 2

③方程 x 2 x + 3 = 0 与函数 y = x 2 2 x + 3 注:(1)函数的零点是数,不是一个点。 (2)并不是所有函数都有零点。 例1、 求证:一元二次函数 y = 2 x 2 + 3 x + 7 有两个零点 小结:函数零点的求解与判断 ①(代数法)求方程 f(x)=0 的实数根;

x

②(几何法)对于不能用求根公式的方程,可以将它与函数 y=f(x)的图象联系起来,并 利用函数的性质找出零点. 例 2 如图(幻灯片)是一个二次函数 y = f ( x ) 的图象。 ⑴写出这个二次函数的零点; ⑵写出这个二次函数的解析式; ⑶试比较 f ( 4) f ( 1) , f (0) f (2) 与 0 的大小关系。 解:⑴由图象可知此函数的零点是: x1 =–3, x2 =1。 ⑵由⑴可设 f ( x ) = a ( x + 3)( x 1) ∵ f ( 1) = 4 ∴ a = 1 ∴ f ( x ) = ( x + 3)( x 1) 。 即这个二次函数的解析式为 f ( x ) = x 2 2 x + 3 。 ⑶∵ f ( 4) = 5, f ( 1) = 4, f (0) = 3, f (2) = 5 , ∴ f ( 4) f ( 1) = 20 ﹤0, f (0) f (2) = 15 ﹤0。 设问 1:已知二次函数 f(x)的图象,判断 f(-2)、f(0)、f(4)、f(6)与 0 的大小;如果 开口向下呢? 设问 2:如果二次函数 y=f(x)的零点是-1 和 5,如图 3,试判断 f(-2)f(0)、f(4)f(6) 与 0 的大小。

设问 3:如果不知道二次函数 y=f(x)的零点,但是有 f(-2)f(0)<0、f(4)f(6)<0,我们可以 得出什么样的结论?你能否画出它的大致图像?根据图像你能够得到什么样的式 子?(幻灯片) 结论: y=f(x)对于实数 m,n,m<n,有 f(m)f(n)<0,则存在 (m,n),使 结论:如果二次函数 y=f(x)对于实数 m,n,m<n,有 f(m)f(n)<0,则存在 x 0 ∈ (m,n),使 )=0,即函数在区间(m,n)上有一个零点. 即函数在区间(m,n) 得 f(x 0 )=0,即函数在区间(m,n)上有一个零点.
2 练习: 练习:二次函数 f ( x ) = ax + bx + c( x ∈ R ) 的部分对应值如下表:

x
y

–3 6

–2

–1 –4
2

0 –6

1 –6

2 –4

3

4 6

m

n

不求 a 、 b 、 c 的值,可以判断方程 ax + bx + c = 0 的两根所在的区间是()

( A) ( 3, 1) 和 ( 1,1) ( C ) ( 1,1) 和 (1, 2 )
三、课堂小结 课堂小结

( B ) ( 3, 1) 和 ( 2, 4 ) ( D ) ( ∞, 3) 和 ( 4, +∞ )

◆函数零点与方程根的联系; ◆一元二次方程根的分布与函数图象之间的关系及处理方法; ◆本节课运用了哪些数学思想方法. 四、作业 课本 P81 习题 1、2。
2

备用:若方程 2ax x 1 = 0 在 ( 0,1) 内恰有一解,则 a 的取值范围是(B) 解:设 f ( x ) = 2ax x 1
2

由题意得: f (0) f (1) <0 ∴ ( 1)(2a 1 1) <0 解得 a ﹥1 ∴选 B

1

1

( A) a ﹤

( B ) a ﹥1

(C )

﹤ a ﹤1

( D ) 0≤ a <1



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