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人教版高中数学必修二课件:4.1.1圆的标准方程 (共52张PPT)

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? 4.1.1圆的标准方程 在平面直角坐标系中,两点确定一条直线, 一点和倾斜角也能确定一条直线. 在平面直角坐标系中,如何确定一个圆呢? 平面内到定点的距离等于定长的点的集合. C · r 定点 定长 圆心 半径 当圆心位置与半径大小确定后,圆就唯一确 定了.因此一个圆最基本要素是圆心和半径. 如图,在直角坐标系中,圆心(点)A的位置 用坐标(a,b)表示,半径 r 的大小等于圆上任意 点M(x, y)与圆心A (a,b)的距离. y M(x,y) O C x 圆心C(a,b),半径r y M(x,y) O C x ( x ? a) ? ( y ? b) ? r 2 2 2 标准方程 特别地,若圆心为O(0,0),则圆的方程为: x ?y ?r 2 2 2 圆的标准方程 已知圆的圆心为C(a,b),半径为r,求圆的方程. 解:设点M (x,y)为圆C上任一点, 圆上所有点的集合 y M(x,y) P = { M | |MC| = r } ( x ? a ) ? ( y ? b) ? r 2 2 O C x ( x ? a) ? ( y ? b) ? r 2 2 2 在直角坐标系中,已知点M(x0,y0)和圆C: ( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? r 2,如何判断点M在圆外、圆上、 圆内? y 1.点M在圆外,|MC|>r (x0-a)2+(y0-b)2>r2时,点M在圆C外; 2.点M在圆上,|MC|=r M (x0-a)2+(y0-b)2=r2时,点M在圆C上; 3.点M在圆内,|MC|<r (x0-a)2+(y0-b)2<r2时,点M在圆C内. O C x 例1 写出圆心为 A(2,?3) ,半径长等于5的圆的 方程,并判断点 M1 (5,?7) ,M 2 (? 5 ,?1) 是否在这个圆上. 解 圆心是 A(2,?3) ,半径长等于5的圆的标 : 准方程是 ( x ? 2) 2 ? ( y ? 3) 2 ? 25 把 M1 (5,?7) 的坐标代入圆的方程,左右两边相 等,点 M 1 的坐标适合圆的方程,所以点 M 1 在这 个圆上; 把点 M 2 (? 5 ,?1) 的坐标代入方程,左右两边不 相等, 点 M 2 的坐标不适合圆的方程,所以点 M2 不在这个 圆上. 例2 ?ABC 的三个顶点的坐标分别为 A(5,1), B(7,-3),C(2, -8) ,求它的外接圆的 方程. 分析:不在同一条直线上的三个点可以确定一 个圆,三角形有唯一的外接圆. 解:设所求圆的方程是 ( x ? a) 2 ? ( y ? b) 2 ? r 2 因为A(5,1), B(7,-3),C(2, -8) 都在圆 上,所以它们的坐标都满足圆的方程,于是 ?(5 ? a) 2 ? (1 ? b) 2 ? r 2 ? 2 2 2 ( 7 ? a ) ? ( ? 3 ? b ) ? r ? ?(2 ? a) 2 ? (?8 ? b) 2 ? r 2 ? 解此方程组,得 ?a ? 2, ? ?b ? 3, ?r 2 ? 25. ? ?ABC 的外接圆的方程是 所以, ( x ? 2) ? ( y ? 3) ? 25 2 2 结论:在平面直角坐标系中,已知三个点的 坐标可以确定一个圆的方程 例3 已知圆心为C 的圆经过点A(1,1)和B(2,-2), 且圆心C 在直线上l:x - y+1=0,求圆心为C 的圆的标 准方程. 分析:如图,确定一个圆只需确定圆心位置与半 径大小.圆心为C 的圆经过点A(1,1)和B(2,-2),由 于圆心C 与A,B 两点的距离相等,所以圆心C 在线段 AB 的垂直平分线 l '上.又圆心C 在直线l 上,因此圆 心C 是直线 l 与直线 l ' 的交点,半径长等于|CA|或 |CB|. 解:因为A(1, 1)和B(2, -2),所以线段AB的中点 3 1 D的坐标 ( ,? ) ,直线AB的斜率 2 2 k AB ? 2 ?1 ? ? ?3 2 ?1 ' y l A 因此线段AB 的垂直平分线 l 的方程是 1 1 3 y ? ? (x ? ) 2 3 2 即 x ? 3y ? 3 ? 0 C o B x 圆心C 的坐标是方程组 ?x ? 3 y ? 3 ? 0 ? ?x ? y ? 1 ? 0 ? x ? ?3, 的解.解此方程组,得 ? ? y ? ?2. 所以圆心C 的坐标是(?3,?2) 圆心为C 的圆的半径长 r ?| AC |? (1 ? 3) 2 ? (1 ? 2) 2 ? 5 所以,圆心为C 的圆的标准方程是 ( x ? 3) ? ( y ? 2) ? 25 2 2 小结 1.圆的标准方程的结构特点. 2.点与圆的位置关系的判定. 3.求圆的标准方程的方法: ①待定系数法;②代入法. 作业 P120-121练习:1,2,3,4 4.1.2 圆的一般方程 1. 圆的标准方程 ( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? r 2 展开 可得到一个什么式子? 2. 方程 x2 ? y 2 ? 2x ? 4 y ? 1 ? 0 与x2 ? y 2 ? 2x ? 4 y ? 6 ? 0 都表示的图形是圆吗? 解:分别配方得 ( x ?1)2 ? ( y ? 2)2 ? 4 ( x ?1)2 ? ( y ? 2)2 ? ?1 第一个方程表示以(1,-2)为圆心,2为半径 长的圆. 第二个方程没有实数解,不存在点的坐标 (x,y)满足这个方程,它不表示任何图形. 方程 x ? y 下表示圆? 2 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 在什么条件 x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0 2 2 2 2 D E D ? E ? 4F ? ? ? ? ? x? ? ?? y ? ? ? 2?


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