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2019届高考数学大一轮复习 第三章 导数及其应用 第3讲 定积分与微积分基本定理练习 理 北师大版

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2019 届高考数学大一轮复习 第三章 导数及其应用 第 3 讲 定积分 与微积分基本定理练习 理 北师大版 一、选择题 1.(2017·西安调研)定积分??01(2x+ex)dx 的值为( ) A.e+2 B.e+1 C.e D.e-1 1 解析 ??01(2x+ex)dx=(x2+ex)???0)=1+e1-1=e.故选 C. 答案 C 2.若??1a???2x+1x???dx=3+ln 2(a>1),则 a 的值是( ) A.2 B.3 C.4 D.6 解析 ??1a???2x+1x???dx=(x2+ln a x)?? =a2+ln ?1 a-1, ∴a2+ln a-1=3+ln 2,则 a=2. 答案 A 3.从空中自由下落的一物体,在第一秒末恰经过电视塔顶,在第二秒末物体落地,已知自 由落体的运动速度为 v=gt(g 为常数),则电视塔高为( ) A.12g B.g C.32g D.2g 解析 电视塔高 h=??12gtdt= ???12gt2??????21=32g. 答案 C 4.如图所示,曲线 y=x2-1,x=2,x=0,y=0 围成的阴影部分的 面积为( ) A.??02|x2-1|dx B.????02(x2-1)dx?? C.??02(x2-1)dx D.??01(x2-1)dx+??12(1-x2)dx 解析 由曲线 y=|x2-1|的对称性知,所求阴影部分的面积与如下图形的面积相等,即??02 |x2-1|dx. 答案 A 5.若 S1=??12x2dx,S2=??121xdx,S3=??12exdx,则 S1,S2,S3 的大小关系为( ) A.S1<S2<S3 B.S2<S1<S3 C.S2<S3<S1 D.S3<S2<S1 解析 S2=??121xdx=ln 2,S3=??12exdx=e2-e, ∵e2-e=e(e-1)>e>73>ln 2, ∴S2<S1<S3. 答案 B 二、填空题 6.已知 t>0,若??0t(2x-2)dx=8,则 t=________. t 解析 由??0t(2x-2)dx=8 得,(x2-2x) ?? =t2-2t=8,解得 t=4 或 t=-2(舍去). ?0 答案 4 7.已知二次函数 y=f(x)的图像如图所示,则它与 x 轴所围成的面积为 ________. 解析 根据 f(x)的图像可设 f(x)=a(x+1)·(x-1)(a<0). 因为 f(x)的图像过(0,1)点, 所以-a=1,即 a=-1. 所以 f(x)=-(x+1)(x-1)=1-x2. 所以 S=??1-1(1-x2)dx=2??01(1-x2)dx =2???x-13x3??????10=2???1-13???=43. 答案 4 3 8.(2017·合肥模拟)设 a>0,若曲线 y= x与直线 x=a,y=0 所围成封闭图形的面积为 a2,则 a=________. 解析 封闭图形如图所示,则??0a xdx= 解得 a=49. 3 =23a2-0=a2, 答案 4 9 三、解答题 9.计算下列定积分: (1)??12???x-1x???dx; (2)??02 -x2+2xdx; (3) 2sin???x+π4 ???dx; (4)??1-1(x2tan x+x3+1)dx; (5)??2-2|x2-2x|dx. 解 (1)原式=???12x2-ln x??????21=???12×22-ln 2???-???12-ln 1???=32-ln 2; (2)由定积分的几何意义知,所求定积分是由 x=0,x=2,y= -x2+2x,以及 x 轴围成 的图像的面积,即圆(x-1)2+y2=1 的面积的一半,∴??02 -x2+2x=π2 ; (3)原式= (sin x+cos x)dx=(-cos x+sin x) =???-cosπ2 +sinπ2 ???- (-cos 0+sin 0)=2; 1 (4)原式=??1-1(x2tan x+x3)dx+??-1 11dx=0+x???-1=2; (5)∵|x2-2x|=?????x-2-x22+x, 2x- ,20≤ ≤xx<≤0, 2, ∴??2-2|x2-2x|dx=??- 0 2(x2-2x)dx+??02(-x2+2x)dx=???13x3-x2??????0-2+???-13x3+x2??????20=8. 10.求曲线 y=x2,直线 y=x,y=3x 围成的图形的面积. 解 作出曲线 y=x2,直线 y=x,y=3x 的图像,所求面积为图中阴 影部分的面积. 解方程组???y=x2,得交点(1,1), ??y=x, 解方程组???y=x2, 得交点(3,9), ??y=3x, 因此,所求图形的面积为 S=??01(3x-x)dx+??13(3x-x2)dx 1 =??012xdx+??13(3x-x2)dx=x2???0 +???32x2-13x3??????31 =1+???32×32-13×33???-???32×12-13×13???=133. 11.若 f(x)=x2+2??01f(x)dx,则??01f(x)dx=( ) A.-1 1 B.-3 C.13 D.1 解析 由题意知 f(x)=x2+2??01f(x)dx, 设 m=??01f(x)dx,∴f(x)=x2+2m, ??01f(x)dx=??01(x2+2m)dx=???13x3+2mx??????10 =13+2m=m,∴m=-13. 答案 B 12.一辆汽车在高速公路上行驶,由于遇到紧急情况而刹车,以速度 v(t)=7-3t+12+5t(t 的单位:s,v 的单位:m/s)行驶至停止.在此期间汽车继续行驶的距离(单位:m)是( ) A.1


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